Sur la récursion affine en dimension ≥ 2 dans le cas "centré" (Marc Peigné, Université de Tours)

26.02.2019 10:30

On fixe un entier d ≥ 2 , on note S le semi-groupe des matrices d x d à coefficients positifs et X le cône (ℝ+)d. On considère une suite (An, Bn)n≥1 de variables aléatoires indépendantes et de même loi à valeurs dans S x X et l'on s'intéresse au comportement asymptotique de la chaîne de Markov (Xn)n≥0 sur X définie par: ∀n ≥ 1, Xn+1 = An+1Xn + Bn+1, où X0 est une variable aléatoire fixée.
On suppose que l'exposant de Lyapunov des matrices An est nul et l'on montre, sous des hypothèses assez générales, qu'il existe une unique mesure de Radon invariante (et infinie) λ pour la chaîne (Xn)n≥0.
L'existence de λ repose sur un travail récent de T.D.C. Pham concernant les fluctuations des normes de produits de matrices aléatoires.
Son unicité découle quant à elle d'un argument dit de "contractivité locale", mis en lumière il y a une vingtaine d'années par M. Babillot, Ph. Bougerol et L. Elie [1] puis S. Brofferio [2] pour le récursion affine unidimensionnelle. Cette très belle propriété a été approfondie dans le contexte des systèmes dynamiques aléatoires par M. Peigné et W. Woess ([4], [5]); à notre connaissance, la récursion affine présentée ici est le premier exemple multidimensionnel où ce phénomène de contraction faible est décrit.

Travail en cours avec S. Brofferio & T.D.C. Pham


Lieu

Salle 623, Séminaire "Groupes et Géométrie"

Organisé par

Section de mathématiques

Intervenant-e-s

Marc Peigné, Université de Tours

entrée libre

Classement

Catégorie: Séminaire

Mots clés: groupes et géométrie