Approches dynamiques et aléatoires pour l'estimation d'intégrales (Antoine Pinochet, Université Aix-Marseille)

18.12.2018 10:30

A l'époque des premiers développements de la physique statistique, Boltzmann suggéra que pour calculer la moyenne spatiale d'une quantité définie en tout point d'un gaz confiné dans une boîte, il était intéressant de suivre une seule particule, d'effectuer une série de mesures, le long de sa trajectoire, et d'en faire la moyenne : si la trajectoire de la particule visite suffisamment bien chaque recoin de la boîte, on peut espérer que la moyenne ainsi calculée soit proche de la moyenne spatiale ; ces idées ont été formalisées mathématiquement dans le cadre de la théorie ergodique.
Dans cet exposé, on s'intéresse à une généralisation de la situation précédente, où on remplace le "temps" par un groupe de type fini, et on se pose la question de la qualité de la convergence souhaitée. Nous parlerons d'un résultat récent, en commun avec Christophe Pittet, qui minore l'erreur commise par une stratégie d'estimation d'intégrales comme celle décrite ci-dessus dans ce cadre. La minoration obtenue est optimale pour un certain nombre d'exemples (actions sur la sphère ou sur le tore) que nous commenterons, et fait intervenir les propriétés spectrales du groupe.
Enfin, nous rapprocherons le contexte ci-dessus à celui, plus probabiliste, de la méthode de Monte-Carlo, ce qui permettra de comparer de manière intéressante, du point de vue de la qualité de l'estimation, l'approche dynamique décrite ci-dessus avec une approche complètement aléatoire.

Lieu

Salle 623, Séminaire "Groupes et Géométrie"

entrée libre